Bogenphysik, Längenänderung eines Bogen

[Heidjer]

Mal ein paar Zahlenspielereien zum Thema Längenänderungen am Bogen.

Nehmen wir dazu ein paar völlig aus der Luft gegriffene Werte.
Eine gerade Holzleiste von 15mm Dicke soll einen Pfeil mit ungefähr 30" Auszug beschleunigen.

30" = 76,40cm = der Radius eines perfekten Kreissegments.

Radius x 2 = Durchmesser eines Kreises = 152,80cm

Durchmesser x pi = Umfang
152,80 cm x pi = ~ 480cm

Da es ein perfekter Bogen ist und der sich zum perfekten Kreissegment biegt, ist die Sehnenlänge genau 2 x der Radius, da der Bogen im Vollauszug einen Sehnenwinkel von 90° haben soll.
Also auch genau 152,80cm

Die Sehne eines Langbogens ist ungefähr 3" kürzer wie der Bogen (hängt ein wenig von der Standhöhe ab).
3" = 7,62cm
152,80cm + 7,62cm = 160,42cm

Rechnen wir der Einfachheit halber, einfach mit 160cm weiter, ist auch zufällig genau ein drittel des Kreisumfanges.
Also biegen wir einfach die Leiste von 160cm Länge und 15mm Dicke zu einen Drittelkreis, oder aber, auch der Einfachheit halber, eine 480cm Lange Leiste zu einen Vollkreis.

Aber wenn die Leiste genau 480cm hat und der Umfang aussen jetzt 480cm hat, wie ist dann der innere Durchmesser des Vollkreises, die Leiste ist ja 15mm Dick?
Also 152,80cm minus 30mm (2 x die Dicke) = 149,80cm Innendurchmesser
149,80cm mal pi = ~ 470,6cm ; upps, die Holzleiste muß dafür auf der Innenseite 9,4cm kürzer werden, bzw gestaucht werden.
Für den Drittelanteil unseres Bogens bedeutet das immer noch ~ 3,1cm die der Bogenbauch gestaucht werden muß!
Gegenrechnung: Der Innendurchmesser unseres Vollkreises bleibt bei 480cm, dann ist der Außendurchmesser jetzt 152,80cm + 3,00cm = 155,80cm x pi = ~ 489,46cm, jetzt muß die Leiste 9,4cm Länger werden!

Man kann diesen Bogen rechnen wie man will, die Länge der 15mm dicken Leiste von 160cm im geraden Zustand, ändert sich um etwa 3,1cm (2 x Wurfarmdicke) im Vollauszug!

Was Wissen wir noch über Holz? Die Zugfestigkeit ist zwei bis dreimal so Hoch wie die Druckfestigkeit, also wird sich die Längenänderung zum Großteil durch eine Kompression des Bogenbauches darstellen.
Was Wissen wir noch? Gutes Holz läßt sich maximal 2% Komprimieren, also 2% von 160cm sind 3,2cm.
So ein Bogen ließe sich also rechnerisch bauen.

In der Praxis ist 160cm für 30" Auszug ein wenig arg kurz und 15mm für solche Biegeradien ein wenig viel, aber eine Längenänderung von 1,5cm - 2,5cm findet auch an einen 190cm langen ELB statt, oder an einen 175cm langen Flachbogen.

Mit Mathematik kann man keinen Bogen tillern, aber manchmal kann sie Vorgänge erklären oder sogar anschaulich machen. Zum Glück versteht Holz nichts von Physik oder Mathematik und rechnet nach, es hält oder bricht, ganz einfach.
Was man sich aber merken sollte ist, ein Bogen macht eine Längenänderung von Ungespannt bis zum Vollauszug zwischen Bogenrücken und Bogenbauch mit, die etwa der doppelten mittleren Wurfarmdicke entspricht!
Diese Längenänderung sorgt für die große Zugbelastung des Bogenrückens und für die Druckbelastung des Bogenbauchs, und natürlich auch für große Scherkräfte im Holz (oder dem Wurfarmmaterial) dazwischen, hier wird die Energie gespeichert!


Gruß Dirk

[Becknbauer]

Danke Dirk, für die Mühe das mal klar darzustellen .
Hat mich schon verblüfft, wie viel das ausmacht. Meine Schätzung wäre deutlich geringer ausgefallen.
Gruß Wolfgang

[Wilfrid (✝)]

Danke dirk
So was wollte ich auch schon immer mal machen

[killerkarpfen]

Ja danke für die Ausführungen.

Das habe ich auch schon gemacht, das Resultat nur irgend wie nicht so recht glauben wollen (Eppur si muove )

[Spanmacher]

Da ich ein mathematischer Legastheniker bin, kann ich nur ehrfuchtsvoll und bescheiden Dankeschön sagen.

[SchmidBogen]

Hut ab, aber ich bin kein Mathegenie. Nur ein Punkt stört mich, oder ist das eben WEIL ich in Mathe nicht wirklich klar komme?

Zitat:
"Die Sehne eines Langbogens ist ungefähr 3" kürzer wie der Bogen (hängt ein wenig von der Standhöhe ab).
3" = 7,62cm
152,80cm + 7,62cm = 160,42cm"

Müsste es also nicht heissen: 152,80cm - (minus) 7,62cm = 145,18cm
und dann müsste man doch mit 145,18cm weiterrechnen oder nicht?

Korrigiert mich wenn ich falsch liegen soll. Ansonsten finde ich es wirklich eine super erklärte und verständliche Darstellung und Danke an Dich, Heidjer für Deine Zeit dafür.

[killerkarpfen]

Stimmt, aber wir machen einfach den Bogen länger statt die Sehne kürzer.

Mit 160cm lässt sich besser rechnen als mit 152cm.

[Rotzeklotz]

Dankeschön! Gut und verständlich geschrieben

[SchmidBogen]

ok einverstanden

[Heidjer]

@ SirNicholas, nein!

Die Sehnenlänge sollte bei diesen Bogen genau zweimal dem Auszug betragen, nur so ist es ein perfektes Kreissegment. Nur wenn beide Sehnenschenkel und der Pfeil die gleiche Länge haben, ist es ein Kreisausschnitt.

Wenn die Sehnenlänge aber mit 2 x 30" vorgegeben ist, dann muß der Bogen selbst natürlich länger sein, bei einen Langbogen paßt eine 60" lange Sehne auf einen 63" Bogen.

Stell Dir das Ziffernblatt einer Uhr vor, 1/3 Stunde sind 20 Minuten. Wenn der Pfeil auf der 3 Uhr Postion liegt, dann hängt die Sehne bei genau 1 Uhr und 5 Uhr.


Gruß Dirk

[schnabelkanne]

Servus, danke für die Ausführungen, sind echt ein Genuss und vor allem man lernt viel dabei!!
Gruß Thomas

[Geoffrey (✝)]

Vielen Dank für die Arbeit, Dirk. Ein weiteres gelungenes Beispiel für Deine immer wieder sehr anschaulichen und gut nachvollziehbaren Erklärungen. Wenn man sie gelesen hat, fragt man sich, weshalb einem das eigentlich vorher nicht so klar war, es ist doch ganz einfach nachvollziehbar. Hätte man doch nur mal richtig drüber nachdenken müssen...

Becknbauer hat es schön auf den Punkt gebracht: Verblüffend. Obwohl: Wenn ich mir Deine Zahlen so richtig "auf der Zunge zergehen lasse", dann wundere ich mich immer mehr darüber, wie wenig eigentlich passiert, will sagen: wie strapazierfähig Bögen sind, denn die Beanspruchungen innerhalb des Holzes sprengen einfach mein bildliches Vorstellungsvermögen. Was müssen dort im Holz für Kräfte wirken.

[Galighenna]

Hallo Dirk

Super Anschaulich erklärt! Ich rechne ja auch gern mal um mir ein paar Details verständlicher zu machen, besonders was Zug und Druckkräfte im Bogen angeht. So kann sich das wohl jeder ganz gut vorstellen.

Ein paar Gedanken habe ich noch zu dem folgenden:

Mal ein paar Zahlenspielereien zum Thema Längenänderungen am Bogen.
[...]
In der Praxis ist 160cm für 30" Auszug ein wenig arg kurz und 15mm für solche Biegeradien ein wenig viel, aber eine Längenänderung von 1,5cm - 2,5cm findet auch an einen 190cm langen ELB statt, oder an einen 175cm langen Flachbogen.
[...]

Ich finde, das passt super ins Bild. Ein Holz das sich 3,2cm komprimieren lässt bevor es kollabiert, wird in diesem Falle wirklich sehr gut ausgenutzt.
Ich finde zwar die 1,6m zwar auch arg kurz. Wenn man aber berücksichtigt, das es sich bei deinem Rechenbeispiel um einen Bogen handelt der im Griff voll mitbiegt, halte ich das nicht für total illusorisch.
Ich baue meine Bögen gerne eher kurz, und mit 1,65m Bogenlänge erreiche ich gerade 28" Auszug mit steifem Griff. Ich bin mir allerdings bei der Dicke nicht so sicher, da könnte ich mal nachmessen. Der eine ist ein 55#er und nicht ganz so dünn.
Bei 15mm könnte man aber wohl schnell bei 100# und mehr liegen schätze ich.

[MartinK.]

Meines Erachtens trifft es nicht zu, dass die Verformung nur vom Bogenbauch aufgenommen wird. Selbst wenn die Zugfestigkeit des verwendeten Bogenholzes höher als seine Druckfestigkeit ist, verschiebt das die neutrale Faser der Biegung nicht, solange der E-Modul des Holzes auf Zug und Druck gleich ist und solange der Bogenbauch nicht überlastet ist. Demnach wäre die rechnerische Dehnung/Stauchung nur halb so groß.

[Wilfrid (✝)]

Tja, so rein Theoretisch, wenn der E-Modul gleich ist....
Ist der aber nicht, sondern Dehnung und Stauchung sind nur in gleichen engen Grenzen erlaubt, die Festigkeit aber ist unterschiedlich. Damit ist der E-Modul leider nicht gleich ...
Also, meistens muß der Bauch die Verformungen mit machen, während der Rücken garnicht/wenig arbeitet